Enter a word or phrase in any language 👆
Language:
Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence
On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:
- how the word is used
- frequency of use
- it is used more often in oral or written speech
- word translation options
- usage examples (several phrases with translation)
- etymology
нуль-многообразие - translation to russian
Многообразие Грассмана; Грассмана многообразие
нуль-многообразие
n.
zero variety; теорема Сильвестра о нуль-многообразиях, Sylvester's law of nullity
zero variety; теорема Сильвестра о нуль-многообразиях, Sylvester's law of nullity
многообразие
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО, ЛОКАЛЬНО СХОДНОЕ С ЕВКЛИДОВЫМ (БЕЗ УТОЧНЕНИЯ ТИПА)
Многообразие (топология); Многообразия; Край многообразия; Замкнутое многообразие; Граница многообразия; Топологическое многообразие; Внутренность многообразия
n.
manifold, variety, diversity
manifold, variety, diversity
ноль
ЦЕЛОЕ ЧИСЛО
Ноль (число); Нуль; Ноль (цифра); 0; 0 (цифра); Число Ноль; Нуль (цифра); Цифра ноль; 🄀; 🄁; Цифра 0; Нуль (число); 0 (число)
= нуль
m.
zero, null
m.
zero, null
Definition
Многообразие
математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. e. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п. и поверхности без самопересечений, краев и т. п.).
Примером одномерного М. могут служить прямая, парабола, окружность, эллипс, вообще любая линия, у каждой точки которой существует окрестность, являющаяся взаимно однозначным и непрерывным (или, как говорят в топологии, гомеоморфным) образом интервала (внутренней части отрезка прямой). Интервал сам является одномерным М., отрезок же не является М. (так как концы его не имеют окрестностей указанного вида).
Примером двумерного М. может служить любая область на плоскости (например, внутренность круга x2 + y2 < r2), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. Двумерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает, например, из числа двумерных М. коническую поверхность (её вершина, в которой сходятся две её полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют специальный класс объектов, которые не удовлетворяют этому требованию, - т. н. многообразия с краем (например, замкнутый круг x2 + y2 ≤ r2).
Примером трёхмерного М. может служить обычное евклидово пространство, а также любое Открытое множество в евклидовом пространстве. Трёхмерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.
М. разделяются на замкнутые и открытые (определение см. ниже). В случае одного измерения каждое замкнутое М. гомеоморфно окружности, а каждое открытое - прямой (на рис. 1 изображены одномерные М. и окрестности точки Р на каждом из них). В случае двух измерений уже замкнутые М. довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число топологических типов: сфера - поверхность рода 0 (рис. 2, а), тор - поверхность рода 1 (рис. 2, б), "крендель" - поверхность рода 2 (рис. 2, в), вообще "сфера с n ручками" - поверхность рода n (на рис. 2, г изображена такая поверхность при n = 3). Этими примерами исчерпываются все топологические типы замкнутых двумерных ориентируемых М. (см. также Ориентируемая поверхность). Существует ещё бесконечное число замкнутых двумерных неориентируемых М. - односторонних поверхностей, например Проективная плоскость, т. н. односторонний тор (Клейна поверхность). Имеется и классификация открытых двумерных М. Полная классификация М. трёх измерений не найдена (1974) (даже для случая замкнутых М.).
Многообразием n измерений (или n-мерным многообразием) называется всякое хаусдорфово Топологическое пространство, обладающее следующим свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n-мерного шара, и всё пространство может быть представлено в виде суммы конечного или бесконечного (счётного) множества таких окрестностей. М. называется замкнутым, если оно компактно (см. Компактность), в противном случае - открытым. Иногда к определению М. прибавляют ещё требование его связности: каждые две точки М. могут быть в нём соединены непрерывной дугой.
Введение в математику понятия М. любого (натурального) числа измерений n было вызвано весьма разнообразными потребностями геометрии, математического анализа, механики и физики. Важность достаточной широты понимания М. как топологического пространства основана на том, что точками так определённых М. могут быть объекты любой природы, например прямые, сферы, матрицы и т. д.
При надлежащем добавлении требований к определению М. устанавливается понятие гладкого, или дифференцируемого, многообразия. На гладком М. имеется возможность рассматривать дифференцируемые функции и дифференцируемые отображения в себя или в другие гладкие М. Гладкие М. имеют особенно большое значение в современной математике, поскольку именно они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (например, конфигурационные пространства (См. Конфигурационное пространство) и фазовые пространства (См. Фазовое пространство) в механике и физике). На гладких М. можно ввести метрику (См. Метрика), превратив его в Риманово пространство. Это позволяет строить дифференциальную геометрию на М. Например, введя некоторым образом метрику в конфигурационном пространстве механической системы, можно истолковать траектории движения как геодезические линии в этом пространстве (см. Наименьшего действия принцип). М., для элементов которого определено (дифференцируемое) умножение, превращающее М. в группу, называется группой Ли (см. Непрерывная группа).
Понятие М. играет большую роль в теории алгебраических функций, непрерывных групп и т. д. Во всех этих приложениях существенны свойства М., не изменяющиеся при топологических преобразованиях, - т. н. топологические свойства. К ним относятся, например, ориентируемость или неориентируемость М. (см. Ориентация). Изучение этих свойств является одной из важнейших задач топологии.
Лит.: Александров П. С. и Ефремович В. А., Очерк основных понятий топологии, М. - Л., 1936; Александров П. С., Комбинаторная топология, М. - Л., 1947; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967.
Н. В. Ефимов.
Рис. 1. Одномерные многообразия.
Рис. 2. Примеры замкнутых двумерных многообразий.
Wikipedia
Грассманиан
Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства размерности называется многообразие, состоящее из его -мерных подпространств. Обозначается или или . В частности, — это многообразие прямых в пространстве , совпадающее с проективным пространством . Названо в честь Германа Грассмана.
На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение . Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.
